Makalah Turunan Fungsi Implisit

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam Bab I ini penulis menyampaikan tentang Latar Belakang Masalah, Rumusan Masalah, dan Tujuan. Tiap bagian disajikan sebagai berikut :

1.1     Latar Belakang Masalah

Dalam pembahasan bab Turunan ini terdapat sub bab tentang Konsep Turunan Fungsi Implisit.

Fungsi implisit sering berguna dalam keadaan yang tidak memudahkan buat memecahkan persamaan dalam bentuk R(x,y) = 0 untuk y yang dinyatakan dalam x. Bahkan bila memungkinkan untuk menyusun ulang persamaan ini untuk memperoleh y sebagai fungsi eksplisit f(x), hal ini boleh jadi tidak diinginkan, karena pernyataan f jauh lebih rumit dari pernyataan R. Dalam keadaan lain, persamaan R(x,y) = 0 mungkin tidak dapat menyatakan suatu fungsi sama sekali, dan sebenarnya mendefinisikan fungsi bernilai ganda. Bagaimanapun, dalam banyak keadaan, bekerja dengan fungsi implisit masih dimungkinkan. Beberapa teknik dari kalkulus, seperti turunan, dapat dilakukan dengan relatif mudah menggunakan fungsi implisit.

1.2     Rumusan Masalah

Mengacu pada latar belakang diatas, maka perlu adanya tindakan yaitu study mengenai analisis lebih mendalam :

1)      Bagaimana cara mencari hasil dari suatu aturan hitung Turunan Fungsi Implisit ?

2)      Bagaimana cara menentukan Variabel Turunan Fungsi Implisit ?

1.3     Tujuan

Tujuan dari pembuatan Makalah ini adalah :

1)      Untuk mengetahui cara mencari hasil dari suatu aturan hitung Turunan Fungsi Implisit.

2)      Untuk mengetahui cara menentukan Rumusan Turunan Fungsi Implisit.

3)      Untuk Mengetahui cara menentukan Variabel Turunan Fungsi Implisit.

BAB II

PEMBAHASAN

Dalam Bab II penulis menyampaikan  tentang Turunan Fungsi Implisit. tiap bagian disajikan sebagai berikut :

2.1     Turunan Fungsi Implisit

Suatu fungsi yang dinyatakan oleh y = f (x) disebut fungsi ekslisit, Sedangkan di dalam bentuk f (x,y) = 0 terkadang suatu fungsi, yang disebut fungsi implisit.

Dalam matematika, sebuah fungsi implisit adalah fungsi yang mana variabel tak bebas tidak diberikan secara "eksplisit" dalam bentuk variabel bebas. Menyatakan sebuah fungsi f secara eksplisit adalah memberikan cara untuk menentukan nilai keluaran dari sebuah fungsi y dari nilai masukan x:

y = f(x).

Sebaliknya, sebuah fungsi adalah implisit apabila nilai y didapatkan dari x dengan memecahkan persamaan dalam bentuk:

F(x,y) = 0

Dengan kata lain, sebuah variabel dapat menentukan variabel lainnya, namun kita tidak diberikan rumus eksplisit untuk suatu variabel dalam bentuk variabel lainnya.

Definisi: sebuah metode untuk mencari  tanpa terlebih dahulu menyelesaikan secara gamblang persamaan yang diberikan untuk y dalam bentuk x.

Penyelesaian dengan dua metode

Contoh 1: cari   jika  4x²y-3y=x³-1

Turunan Fungsi Implisit F(x,y) = 0 adalah   0

Jadi         =

  artinya F(x,y) di turunkan ke x, dan selain x dianggap konstanta.

  artinya F(x,y) di turunkan ke y, dan selain y dianggap konstanta.

Contoh :

a)      F(x,y) = x² + 2xy – 3 = 0     =

b)      F(x,y) = x³ – ln y = 0     =  = 3 x² y

c)      F(x,y) = cos 2x – sin y = 0     =

Konsep fungsi satu peubah y = f (x) dapat diperluas sehingga menjadi fungsi dua perubahn z = F(x,y). Di sini peubah bebasnya x dan y, sedangkan pe ubah tak bebasnya z. Daerah asla fungsinya adalah himpunan titik {(x,y)  R² : F(x,y)  R}, dan daerah nilainya adalah {z  R : z = F(x,y), (x,y) di daerah asal F}. Untuk z = 0, maka F(x,y) = 0, menyatakan y fungsi implisit dari x, dan juga x fungsi implisit dari y. Pada fungsi implisit y = y(x) yang teruat dalam F(x,y) = 0, pengertian fungsi yang biasa dapat dijelaskan sebagai berikut. Untuk setiap x yang memenuhi F(x,y) = 0, terdapat selang terbuka ( ) dengan  tentu sehingga y = y(x) adalah fungsi dalam pengertian biasa, yaitu untuk setiap x dikaitkan dengan tepat atu y.

Kita akan menentukan turunan fungsi y = y(x) yang terkandung secara implisit dalam F(x,y) =  G(x,y). Jika fungsi y terdeferensialkan terhadap x, maka

Dengan menganggap y sebagai fungsi x akan menghasilkan y’ sebagai fungsi dari x dan y.

Ø    Lingkaran x² + y² = a² dengan a  0 secara implisit memuat y sebagai fungsi dari x, dan x sebagai fungsi dari y. Dengan turunan fungsi implisit diperoleh

      (x² + y²) =   a²                          (x² + y²) =   a²

           2x + 2yy’ = 0                                    2xx’ + 2y = 0

                       y’ =                                    x’ =

Perhatikan bahwa disini berlaku

Hal ini sejalan dengan rumus turunan fungsi invers yang telah kita kenal baik.

Contoh :

Tentukan y’ dari

a)            x² + y² = 25

b)            (x+y)² – (x-y)² = x⁴ + y⁴

c)            sin xy = 2x y² + 1

Jawab

a)            x² + y² = 25 sehingga 2x + 2yy’ = 0 , Jadi y’ =

b)            (x+y)² – (x-y)² = x⁴ + y⁴

            2(x+y)(1+y’) – 2(x-y)(1-y’) = 4x³ + 4y³y’

         Dengan manipulasi aljabar. Didapati y’=  

c)                       (sin xy) =  (2xy² + 1)

(cos xy)  = 2x  (y²)  + 2y²

      (cos xy) (xy’ + y) = 2x(2yy’) + 2y²

     y’ (x cos xy – 4xy) = 2y² ­– y cos xy

                               y’ =

BAB III

KESIMPULAN

Dalam Bab III penulis menyampaikan  tentang Kesimpulan. tiap bagian disajikan sebagai berikut :

3.1  Kesimpulan

Berdasarkan hasil penghitungan di atas, maka penulis dapat menyimpulkan sebagai berikut :

1)      Turunan Fungsi Implisit dapat di hitung seperti contoh di atas.

2)      Variabel Turunan Fungsi Implisit dapat ditulis dengan F(x,y).

DAFTAR PUSTAKA

Wikipedia. 2012. Fungsi Implisi, (online). (http://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_implisit, diakses 26 Desember 2012)

Rohma, aizzael. 2010. Turunan Implisit, (online). (http://aizzael-rohma.blogspot.com/2010/10/kalulus-turunan-implisit.html, diakses 27 Desember 2012)

Sunismi. 2001. Kalkulus 1. Malang: Universitas Islam Malang.

Martono, koko. 1999. Kalkulus.  Jakarta: Erlangga.